题目：一维最近邻耦合映像格子的集体行为

一般认为，最近邻耦合的一维混沌振子系统很难出现高同步率的规则运动。因为，所有类型的同步状态都必须满足相同的条件，即构成系统的微观客体其运动都具有相同的频谱特征。如：当单个微观客体是处于混沌运动状态的非线性振子时，对其做频谱分析会得到连续谱，即在某个频段内的所有运动成分都存在；若将两个这样的混沌振子通过弱线性相互作用耦合在一起，由KAM定理可知每个振子将保持各自相空间的拓扑结构不变，即它们不会产生共振、也不能达到同步状态。因此，可以给出以下猜想：一维最近邻相互作用的混沌振子系统很难达到同步状态；如果系统能够达到同步状态，那必然是某个特定频率下的规则运动。    
对于上述结论前半部分可通过主稳定性函数的方法得到证明。同步动力学特征依赖于系统的主稳定函数，而主稳定函数取决于单个客体的动力学性质及其耦合方式。研究表明，系统的同步化能力仅由耦合矩阵的第二大特征值确定，一维最邻耦合系统对应耦合矩阵第二大特征值为一循环矩阵,当系统尺寸大于某一临界值时，系统将不满足稳定同步条件。但是，迄今为止对于上述猜想的后半部分仍然没有得到严格的证明。
为了对上述结论的严格证明提供数值依据和参考。本文主要是对基于一维最近邻耦合映像格子模型的集体动力学同步化能力进行研究。在全参数空间分别研究了以Logistic映像和不连续不可逆映像为格点动力学单元的一维耦合系统的集体动力学行为。特别关注当映像处在混沌运动的参数区间时系统的动力学特征。运用数值方法计算了随不同耦合强度和不同映像控制系数全参数空间下的平均时间同步序参量、最大李雅普诺夫指数等来描述耦合系统的集体动力学行为的特征量。同时，为了对系统内部结构有更直观和精细的认识，对同步化趋势呈现很强且对应最大李雅普诺夫指数小于临界零参数区，通过计算给出空间振幅变化图和随时间变化序参数图来观察系统的集体动力学行为。研究结果表明，在以Logistic映像为动力学单元的一维耦合映像格子系统发现，当单格点为混沌运动时在一个很小的耦合参数区间系统表现出高度同步化的周期2行为；而在以不连续不可逆映像为动力学单元的一维耦合映像格子系统，由于不连续不可逆映像本身丰富的动力学行为，系统也呈现出了丰富的集体动力学特征。同时，我们发现当单格点为混沌运动时在一个很小耦合参数区间存在非严格周期行为的指向性同步行为。