● 摘要
几何约束求解是计算机辅助几何设计和其他工程几何领域中的基本问题. 本文重点研究如何设计和实施用于求解含等式与不等式关系的几何约束问题的有效算法和软件工具, 及其在动态图形自动生成方面的应用.前两章主要综述学科的发展现状, 介绍一些求解多项式系统的基础知识. 在第三章中, 我们提出关于平方根和立方根的实约定. 在求解多项式方程时, 实约定不依赖于多项式的系数, 因而具有一致性. 对于实系数三次方程, 利用实约定所定义的规则选取平方根和立方根能使Lagrange求根公式始终给出方程的正确解. 基于实约定, 我们还给出带等式和不等式约束的实系数三次方程的实解公式.在第四章中, 我们将三次的情形推广到四次. 首先, 我们调整四次方程的Lagrange型求根公式, 并证明对于实系数四次方程, 利用实约定选取平方根和立方根能使校正后的Lagrange型求根公式始终给出方程的正确解. 进而, 基于实约定, 我们给出带等式和不等式约束的实系数四次方程的实解公式. 从三次到四次的推广并不简单直接, 需要用到一些比较复杂的技术, 如实多项式的Sturm--Habicht序列和多项式的判别系统等. 基于实约定得到的、带约束的三次与四次实系数多项式方程的实解公式不包含非常数的分母, 因而避免了可能出现的“0/0”(即分子和分母同时趋于零) 的情形, 使求解方法更加稳定.第五章从两方面改进和加强由Hong及其合作者提出的处理含不等式几何约束问题的HLLW方法. 一方面是利用第三章中介绍的带等式与不等式约束的Lagrange型实解公式替换原方法中的Ferro--Cardano型三次方程求根公式; 另一方面是在HLLW方法中加入第四章中介绍的带约束的四次方程实解公式, 用于处理出现四次方程、比较复杂的自动作图问题. 改进后的HLLW方法在计算上更加稳定, 生成的动态图形连续性更好, 在图形移动更新的过程中可避免一些跳转现象. 计算实验表明, 改进后的HLLW方法在稳定性和作图质量方面有了较大的提高.针对目前大部分几何作图软件只能处理等式约束的欠缺, 我们设计并实施了一个可以处理不等式约束的动态几何作图软件包GeoDraw. 该软件包实现了改进的HLLW方法, 将基于数值计算的构造型作图与基于符号和数值混合计算的陈述型作图方式结合起来, 可以通过所给的作图指令自动生成满足相应等式和不等式约束的动态几何图形. 整个作图过程包括Maple中的三角分解, QEPCAD中的实量词消去以及Java中的语义解析、数值计算和图形生成等, 并且是完全自动的. 在第六章中, 我们从设计实施、功能特点、指令说明和应用举例等方面详细介绍GeoDraw, 并通过15个著名的平面几何作图问题展示GeoDraw的自动作图能力. 最后一章, 第七章, 是对本文工作的总结和未来工作的展望.
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