● 摘要
作为特殊的序半群 ----- Quantale, 是由C. J. Mulvey提出的, 其目的在于给研究非交换C*-代数提供新的格式刻画, 并给量子力学提供新的数学模型. 由于Quantale理论提供了研究非可换结构的一种有力的手段, 使得它有着广泛的应用空间, 特别是它在非交换的拓扑、线性逻辑和C*-代数等理论中的应用. 因此, Quantale理论成为近年来国内外学者研究的热点问题之一, 在短短的二十几年中, 有关Quantale理论的大量新的观点及应用相继被给出. 由于Quantale可以看作是Frame的一般化, 因此, 其自身的内在结构也有及其丰富的内容. 本文一方面在这些成果的基础上运用格理论的方法对Quantale的内部结构作了进一步的研究, 从而丰富了Quantale理论内容. 另一方面, 研究了序半群的Quantale完备化问题, 并且给出了序半群的Quantale完备化的几个应用.本文的主要内容安排如下: 第一章 预备知识. 本章给出了与本文相关的Quantale理论和范畴理论方面的一些概念和结论.
第二章 V-quantale. 首先讨论了V-quantale上的Å和®运算的性质, 在此基础上给出了强德摩根律的等价刻画, 得到了V-quantale是Boolean代数的充要条件. 其次, 给出了V-quantale的表现定理. 最后, 定义了两类特殊的V-quantale: 可传V-quantale和蕴含V-quantale. 讨论了可传V-quantale和蕴含V-quantale的性质, 并且给出了V-quantale是可传V-quantale和蕴含V-quantale的充要条件.
第三章 Quantale上的d结构. 首先讨论了Quantale上的Boolean子代数的性质. 其次, 给出了左保持元和左零化子的概念, 并讨论了左保持元和左零化子在完备Boolean子代数上的关系. 最后, 给出了Quantale上的d结构的概念, 并且给出了d结构的具体刻画.
第四章 核映射与余核映射的扩张. 首先讨论了Quantale中的理想与同余之间的关系, 并给出了右侧幂等Quantale中理想余核的具体结构. 其次, 给出了预Dual quantale与预Girard quantale的概念, 讨论了预Dual quantale与预Girard quantale的性质; 在此基础上, 讨论了 核映射与余核映射在预Dual quantale上的关系. 最后, 研究了核映射与余核映射在Girard quantale上的扩张.
第五章 序半群的Quantale完备化. 本章首先讨论了Quantale上的等同关系. 其次, 引入了序半群上的闭包算子, 并讨论了闭包算子的性质. 最后, 给出了序半群的Quantale完备化的概念, 并给出了具体刻画.
第六章 序半群的Quantale完备化的应用. 本章主要给出了序半群的Quantale完备化的几个应用. 首先讨论了序半群与Girard quantale之间的关系. 其次, 利用序半群的Quantale完备化讨论了序半群上的等同关系以及商序半群. 最后证明了Quantale范畴是序半群范畴的反射子范畴.
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