2018年中山大学中山医学院602高等数学(B)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
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2018年中山大学中山医学院602高等数学（B ）之工程数学—线性代数考研核心题库（一） . 2 2018年中山大学中山医学院602高等数学（B ）之工程数学—线性代数考研核心题库（二）10 2018年中山大学中山医学院602高等数学（B ）之工程数学—线性代数考研核心题库（三）21 2018年中山大学中山医学院602高等数学（B ）之工程数学—线性代数考研核心题库（四）30 2018年中山大学中山医学院602高等数学（B ）之工程数学—线性代数考研核心题库（五）40
一、计算题
1． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0.
故此排列的逆序数为
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.
2． 设n 阶矩阵A
满足，E 为n 阶单位矩阵，证明
【答案】
另一方面，由矩阵秩的性质，
知因
，故由以上两个不等式知
，
（矩阵秩的性质）。
3． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】
因
4． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】
因得
两端取行列式得
5． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1
）
求
故A 可逆.
于是由
及
故AB
为对称阵
（2
）
（3
）
【答案】⑴
故它的秩为2, 并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式. （2）
于是它的秩为3, 且它的第1、2、3行和第1、2、5列构成最高阶非零子式. （3）
于是它的秩为3. 由于3个非零行的非零首元位于第1、2、5列，故在第1、2、5列所构成的
矩阵中寻找3阶非零子式.
容易看出
6．
设
【答案】
以得
7．
设
而
，
，c 与a 正交，且
左乘题设关系式，
得
求
因
正交，有
有
故
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A
正定
由
且
由
合起来，
当
时，A 正定，从而f 正定.