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一、计算题

1．

设矩阵

【答案】先求x ，y :

因得y=l+x.

因由

再求正交阵P.

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得基础解系

把它们正交化、单位化，得

对应于

解方程（A+4E）x=0, 由

得单位特征向量

是A 的特征值，

有

与

相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使

相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：

5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.

得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A

的特征值为

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则P 是正交阵，

且有

2． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系

：

（

1

）

（2

）

【答案】（1

）増广矩阵

据此，得原方程组的同解方程

取得特解取得对应齐次方程基础解系

（2）增广矩阵

得同解方程组为

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令

得特解

分别令，

得对应齐次方程的基础解系

3．

设向量组

【答案】对含参数a 和b

的矩阵

的秩为2, 求a , b.

作初等行变换，以求其行阶梯形

.

于是

4． 写出一个以

为通解的齐次线性方程组. 【答案】把原式改写为

由此知所求方程组有2

个自由未知数且对应的方程组为