题目：三角代数上若干映射的研究

算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支.它与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透.为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究, 并不断提出新思路,如模线性映射, 可交换映射, 函数恒等式等概念的引入, 目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具.其中三角代数是一类重要的非自伴非素的算子代数, 上三角矩阵代数和套代数均属于这一类代数.本文在已有结论基础上主要研究了三角代数上的非线性可交换映射-模线性可交换映射, Jordan 导子, 广义 Jordan 导子,套代数上的$sigma$-双导子和$sigma$-可交换映射, 广义内$sigma$-双导子和广义$sigma$-可交换映射及Lie 三重同构. 具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号、定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第二节我们主要介绍三角代数,套代数,模线性映射,真可交换映射, Jordan 导子, $sigma$-双导子,Lie 三重同构等概念. 第三节主要介绍了一些熟知的命题和定理.
第二章主要讨论了三角代数上的非线性可交换映射-模线性可交换映射, 通过刻画此类映射的具体形式,给出了三角代数上模线性可交换映射是真可交换映射的一个充分条件. 作为应用,证明了套代数上的每一个模线性可交换映射都是真可交换映射.
第三章首先研究了三角代数上的Jordan导子, 得到了三角代数上的Jordan导子是导子的结论.接着讨论了三角代数上的广义Jordan导子, 证明了三角代数上的每一个广义 Jordan 导子是导子与广义内导子之和.
第四章首先对套代数上的$sigma$-双导子和$sigma$-可交换映射进行了讨论,证明了当dim$0_{+}
eq 1$或dim${mathcal H}^{perp}_{-}
eq 1$时, 套代数$ au(mathcal{N})$上的每一个$sigma$-双导子都是内$sigma$-双导子. 作为应用, 给出了满足条件$f(X)X=sigma(X)f(X)$的线性映射$f$的形式. 其次讨论了套代数上的广义内$sigma$-双导子和广义$sigma$-可交换映射,证明了当dim$0_{+}
eq 1$且dim${mathcal H}^{perp}_{-}
eq 1$时, 套代数$ au(mathcal{N})$上的每一个广义内$sigma$-双导子都具有形式$phi(X,Y)=sigma(X)AY+sigma(Y)CX.$作为应用, 给出了满足条件$f(X)X=sigma(X)g(X)$的线性映射$f,g$的形式.
第五章研究了套代数上的 Lie 三重同构, 证明了套代数上的每一个Lie三重同构$L: au({mathcal N}) ightarrow au({mathcal M})$都具有形式$L(x)= heta(x)+h(x)$, 其中$ heta$是同构或负的反同构,$h$是$ au({mathcal N}) ightarrow{mathbb C}I$的映射,使得对任意的$A,B,Cin au(mathcal{N})$有$h([[A,B],C])=0$. 同时,给出了一个是Lie三重同构但不是Lie同构的例子.