题目：一类非对称矩阵半迭代法的研究

{heitizihao{4} 摘要} songtizihao{-4} quad    大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心.随着生产实践的发展,迭代法已取代直接解法成为求解大型线性方程组的最重要的一类方法.半迭代法是迭代法的一种,与一般迭代法相比,半迭代法不仅可以提高线性方程组的收敛速度,而且可以使一些对原方程发散的迭代法收敛.自Varga 1957年提出半迭代法以来,许多学者都对此作了研究(见[1]-[16]).本文主要是讨论一类非对称矩阵半迭代法收敛性的问题.
    Young 在文献[17] 中,给出了线性方程组 $Ax=b$的迭代矩阵为对称阵(此时迭代矩阵特征值为实数)时,半迭代法的收敛性.在本文第二章,按照Young的方法,利用Chebyshev多项式及其基本性质,讨论了线性方程组$Ax=b$的迭代矩阵为反对称阵(此时迭代矩阵特征值为纯虚数或零)时,半迭代法的收敛性,从而扩大了[17]中半迭代法的适用范围,并且在 $S2.3$中,用实例说明了对某些矩阵而言,我们得到的结果要广于[17].
    Eiermann和Varga在文献[18]中,讨论了线性方程组 $Ax=b$系数矩阵的Jacobi矩阵$B$是弱循环指数为2的相容次序矩阵,在$B^{2}$的特征值为非负实数,满足      $$sigma(B^{2}) subset[0,eta^{2}]  quad  eta:= ho(B)<1$$的条件下,把半迭代法应用于SOR方法.在本文第三章,我们利用[18]中相似的方法,在Jacobi矩阵$B$是弱循环指数为2的相容次序矩阵的前提下,从SSOR迭代法的特征值$lambda$与其Jacobi迭代矩阵$B$的特征值$mu$的关系式         $$[lambda-(1-omega)^{2}]^{2}=lambda(2-omega)^{2}omega^{2}mu^{2} $$出发,当矩阵$B^{2}$的特征值满足       $$sigma(B^{2}) subset[0,eta^{2}] quad 0<eta:= ho(B)<1$$(就是所谓的非负情形)时,研究半迭代SSOR方法.定理3.3.1得到结论:应用于半迭代的SSOR方法加速了取得最优参数$omega=omega_b$的SSOR方法.此外,有一个有意义的结论[见定理3.4.1],若知道$sigma(B^{2})$谱半径有形式 $$sigma(B^{2})subset[0,gamma^{2}]cup{eta^{2}} quad   0<gamma:=max{|mu|:muinsigma(B),|mu|<eta },$$   使用一个次优松弛因子$omega_s<omega_b$,则可以得到一个更小的渐近收敛因子.这是用半迭代法加速SSOR方法时,得到的另一个较好的结果.
在Jacobi矩阵$B$是弱循环指数为2的相容次序矩阵的前提下, 当      $$sigma(B^{2}) subset[  -alpha^{2},0]  quad 0<alpha:= ho(B) $$(就是所谓的非正情形)时,第四章研究了半迭代SSOR方法,得到与第三章一致的结论.
{heitizihao{4} 关键词:}  半迭代法; Chebyshev多项式; SSOR迭代法;  相容次序矩阵; 渐近收敛因子