● 摘要
数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组, 而对这种方程组一般采用迭代法求解. 研究迭代法的关键是迭代格式的收敛性和收敛速度. 迭代不收敛的格式自然不能用, 虽然收敛但收敛很慢的格式使用起来不仅人工和机器的时间比较浪费, 而且还不一定能得出结果, 因此必须寻求收敛速度比较快的格式和确定格式中的某些参数（如SOR迭代法的松弛因子）. 一般来说, 迭代法的收敛性与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系, 例如非负阵、循环阵、M阵、H阵等等. 矩阵不同, 迭代法的研究方法也会有所差异. 因此, 讨论某种迭代法时, 往往是在指定矩阵类型的前提下进行的. 本文题目中的一类矩阵指的是(1, 1)相容次序矩阵.
本文共分为三章, 各章的主要内容如下:
第一章 预备知识. 这部分主要是为第二章和第三章作准备. 介绍了矩阵的一些基本概念: 相容次序矩阵、矩阵范数、非负矩阵及著名的Perron-Frobenius定理等. 这些都是研究矩阵谱性质的重要依据. 同时还对Drazin逆的基本知识作了简单的介绍.
第二章 相容次序矩阵的SAOR迭代法的收敛性分析. 这部分是本文的主要结论部分. 利用SAOR迭代矩阵$S_{gamma, omega}$的特征值 $lambda$和Jacobi迭代矩阵的特征值$mu$之间的关系式, 对SAOR迭代法的收敛性进行了讨论. 当系数矩阵$A$为(1, 1)相容次序矩阵且Jacobi特征值全为实数时, 计算出实参数$gamma$和$omega$相应的取值范围, 即 SAOR方法的收敛区间．最后讨论了在$gamma=2$, $omega$为复数的条件下, 当Jacobi特征值全为实数或纯虚数时, SAOR迭代法的收敛性和最优参数分析.
第三章 第二型 quasi非负分裂的半收敛分析. 先介绍了奇异矩阵线性方程组的一些背景知识, 给出了半收敛的概念及其等价条件. 在此基础上, 引入了第二型quasi非负分裂这个新的概念, 它是由quasi非负分裂和第二弱分裂结合而来的. 最后讨论了第二型quasi非负分裂半收敛的等价定理和比较定理.
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