2017年中国地质大学(武汉)数学与物理学院908量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
2． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
3． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
4． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
5． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
它的本征值
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
6． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
7． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
8． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
9． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
10．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、证明题
11．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
即为厄米算符。
具有周期性，
所以
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
其中为本征值，上式可改写为易解出C 为积分常数，可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13．考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。
图
【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为
【积分未完成】
式中此即所求表达式.
14．两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为（1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：
其中c 为
实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求：
（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。