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一、解答题

1． 薄壁圆环的半径为R ，沿直径方向作用有一对拉力F ，如图1. 圆环壁的抗弯刚度为EI 。试求圆环内任意截面上的弯矩，并求圆环沿拉力F 方向的变形和与F 力垂直方向（CD ）的径向变形.

图1

【答案】（l ）环内任意截面上的弯矩

由于圆环结构和载荷的完全对称性，沿直径CD 将圆环截开为两部分，取上半部分来分析，见图解2。

图解2

截面C-D 上分布有轴力、剪力及弯矩3个内力分量，由于载荷及几何形状均对称，可知

，

故只有，根据平衡方程式 为未知反力，如图解2（b ）。根据圆环受力与变形情况的对称性，可知圆环在

圆环作为静定基本系统，对称轴 A 、B 、C 、D 截面上的转角均应等于零。于是可取A 端固定的

见图解2（c ）。于是变形协调条件截面D 的转角为零，即:

建立如图示极坐标系，应用莫尔积分法，环的任一截面m-m 上的弯矩，如图解2（c ），则

在D 处作用一单位力偶矩

以式②和式③代入式①，得到:

解上式得

以式④代入式②，得圆环在任意截面上的弯矩值为:

在F 力的作用点处，，得最大弯矩值

式中负号表示在F 力作用下的弯矩与图示

（2）圆环沿拉力F 在径向的变形

在F 力方向加一对单位力，见图解2（e ），任一截面上单位弯矩为

应用莫尔积分法，以式⑤及式⑦代入得

方向相反，该弯矩使圆环的曲率增加，而则使圆，由此截面m-m 上的弯矩，见图解2（d ），则

环在截面 D 处的曲率减小. 故圆环受力弯曲变形后的形状将如图1中双点划线所示。

（3）径向（CD ）的变形

在与F 力作用线相垂直的直径CD 两端加一对单位力

弯矩为

与F 力作用线相垂直方向，由莫尔积分得圆环的变形为

2． 已知矩形外伸梁受力F l ，F 2作用。弹性模量E=200Gpa，泊松

比

; 求:（l ）A 点处的主应变

（2）A 点处的线应变。

，如图解2（f ），由此所产生的单位

图

【答案】梁为拉伸与弯曲的组合变形。A 点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力。

（1）A 点处的主应变

则，根据广义胡克定律