题目：径向基函数插值及其在散乱数据处理中的应用

径向基函数插值方法是一种适合逼近多元散乱数据的方法。径向基函数是借助一元函数来描述的多元函数，在计算机里表示时有明显的储存方便和运算简单的优点。因此，它是很适合高维数据的处理。本文对径向基函数插值的一般理论以及它在散乱数据中的应用进行了研究，主要包括径向基函数的特征、径向基函数的拟插值、散乱数据上的径向基函数插值。特别地，我们构造了一种新的Hermite-型径向基函数插值和一种满足二次多项式恢复功能的拟插值。全文主要内容如下：第一章简要地综述了径向基函数插值的背景以及国内外学者在径向基函数插值理论和应用方面的研究成果，在此基础上引出本文的研究课题。第二章介绍了径向基函数的内容和特点，着重对正定径向基函数的特点、充分条件、以及具有紧支撑的正定函数的构造进行了论述，并指出了径向基函数的两个应用。第三章针对多元散乱数据问题，提出了径向基函数插值的一般方法，并在理论上证明了各种不同的收敛阶，同时指出实际计算中的一些困难，并为解决这些困难介绍了Floater提出的多层次法。第四章构造了一种新的Hermite-型径向基函数插值。这种Hermite-型插值是建立在一般的径向基函数插值基础上的，除了能够插值一阶导数之外，还能够被推广到满足任意阶导数要求的情形。文章对这种Hermite-型插值的逼近阶进行了估计，并通过实验分析，看出了其与Lagrange型插值相比具有更好的逼近效果。第五章主要讨论了径向基函数的拟插值。在Buhmann的几个结论基础上，我们在一维网格数据上构造了具有二次多项式恢复功能的拟插值，并给出了收敛分析。最后是全文工作的总结，指出未解决的问题以及进一步研究的方向。