2018年河北工程大学农学院611数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
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芄中
不
知
故
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关，
列向量组
线性无关.
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
和向量组线性表示；
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
因此，所有非零列向量 4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
所有非零解_
t 为任
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使
C 存在
，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1
，b=0时，
线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5． 设
是
m 阶矩阵
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵
AB 的任
-非零特征值
，
是对应于它的特征向量.
即有用矩阵B 左乘上式两边，得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
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事实上，由