2018年华中农业大学理学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则
第 2 页，共 39 页
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意.
当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
已知
，求
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
第 3 页，共 39 页
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 与3维列向量X
满足
（2
）求
，本题的困难在于
且向量组
线性无关.
（1）记y=Ax，z=Ay，P=（x ，y ，z ），求三阶矩阵B ，使AP=PB; 【答案】（1）因矩阵P 的列向量组线性无关，故P 可逆，从而
没有具体给出A 和P 的元素，而是它们之间的一些关系式. 下面就利用这些关系式来计算
B.
因，故
于是
（其实，矩阵B 就是向量组Ax ，Ay ，Az 由向量组x , y , z 线性表示的系数矩阵）。 （2
）由
，两边取行列式，
便有
是它的三个解向量，
且
6． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.
第 4 页，共 39 页
相关内容
相关标签