● 摘要
中心焦点和极限环问题是平面非线性微分方程定性理论的两大基本问题, 而中心焦点的判定问题又是极限环问题研究的前提和基础, 有关中心焦点和极限环问题的研究构成了数学的一个独立的分支. 计算机代数是计算机科学中的新兴领域, 它主要研究代数算法的设计、分析、实施及应用. 近年来, 计算机代数系统的发展给微分方程定性理论的发展注入了新的活力. 本文借助于计算机代数系统研究了平面多项式微分系统的中心焦点问题以及与之有密切联系的小扰动极限环问题. 全文共有五章组成. 第一章主要介绍了平面多项式微分系统中心焦点问题与极限环分支问题和计算机代数系统的历史背景和研究现状, 以及本文选题的来源、研究目的和意义. 第二章简要介绍了目前研究中心焦点问题的基本思想和基本方法. 目的是为了对该问题有一个更全面的了解. 第三章介绍了用计算机代数系统研究中心焦点问题时所用到的主要方法和工具. 第四章针对目前已知的三次、四次、五次及一类三角函数微分系统的中心条件,我们借助于计算机代数系统验证了其必要条件的正确性, 对其中的部分系统给出了简化的中心条件. 第五章介绍了与中心焦点问题密切相关的小扰动极限环问题, 我们通过具体实例说明小扰动极限环的构造过程, 同时给出了其存在两个小扰动极限环的条件和三个小扰动极限环的部分条件. 最后给出了本文的工作总结.
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