2018年天津大学机械工程学院837量子力学之量子力学教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
2． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
3． 写出泡利矩阵。 【答案】
4． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
6． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
7． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
8． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
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二、计算题
9． 两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。
（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。
【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为
而波函数为
有4重简并。
）中。对下列两种情况
写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波
第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。
（2
）自旋非简并。
的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:
总能量为
波函数为
第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，
代表二粒子自旋单态
，
代表自旋三重态。
10．—个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】
在
表象下，
由
可以解得
：
其中
时态矢为：
分别为朝上和朝下时的波函数.
即t=0
时刻电子自选波函数
电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故
状态为的本征态，对应本征值为：
t ＞0时刻电子自旋波函数应为
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写成矩阵形式，即
而
平均值为
11．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
很容易求得
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
的本征值与本征矢：
（2）
的本征方程
可得，
故
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1，说的本征值为±
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
的本征方程