2018年天津大学机械工程学院837量子力学之量子力学导论考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
2． 写出电子在外电磁场【答案】
3． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
4． 能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
5． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
6． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
中的哈密顿量。
满足如下的两式
问何为厄密算符？何为
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
7． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。
8． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
二、计算题
9． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为：
10．设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，
将
用
【答案】利用于是
可得即
和E. ，表出，其中
是能量本征值为E. ，的本征矢。
11．力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
12．—个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】
在
表象下，
由
可以解得
：
其中
时态矢为：
分别为朝上和朝下时的波函数.
即t=0
时刻电子自选波函数
电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故
状态为的本征态，对应本征值为：
t ＞0时刻电子自旋波函数应为
写成矩阵形式，即
而
平均值为
13．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于
故得：
有：
在B 表象中，求出矩阵A 、B 。
由此式求出B 的本征值为0，1。
在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：
设：
则有：
由③可得：由③可得：
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