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一、计算题

1． 力偶矩M 为常量, 作用在绞车的鼓轮上, 使轮转动, 如图所示. 轮的半径为r , 质量为鼓轮上的绳子系一质量为加速度

.

缠绕在

的重物, 使其沿倾角为的斜面上升. 重物与斜面间的滑动摩擦因数为f ,

绳子质量不计, 鼓轮可视为均质圆柱. 在开始时, 此系统处于静止. 求鼓轮转过角时的角速度和角

图

【答案】系统的初动能为

末动能为外力做的功为

由动能定理可得

对上式的时间t 求导, 由动能定理的微分形式可得

解得

2． 球1速度方向与静止球2相切, 如图所示. 两球半径相同、质量相等, 不计摩擦. 碰撞

的恢复因数e=0.6.求碰撞后两球的速度

.

图

【答案】在两球碰撞时, 将球1的速度分解为沿两球心连线方向和垂直两球心连线方向则球1以速度

与球2发生正碰, 碰撞后速度变为

方向与

向上动量守恒, 设球2碰撞后速度为

恢复因数为k=0.6, 可得:

两球的半径相同, 则可知:联立以上各式可得:因为

相同, 设两球质量均为m , 可得:

,

, 速度不改变. 不计摩擦力, 则发生正碰的方

不变, 所以碰撞结束后, 球1的速度大小为:

球2速度大小为:

沿撞击点法线方向.

3． 杆系在铅垂面内平衡, AB=BC=1, CD=DE, 且AB , CE 为水平, CB 为铅垂. 均质杆CE 和刚度系数为的拉压弹簧相连, 重为P 的均质杆AB 左端有一刚度系数为的螺线弹簧. 在BC 杆上作用有水平的线性分布载荷, 其最大载荷集度为q. 不计BC 杆的重量. 求水平弹簧的变形量和螺线弹簧的扭转角

图1

【答案】（1）如图2所示

.

图2

对于E 处和A 处, 可知

假定AB 不发生虚位移, 由虚功方程可得

其中

解得

（2）如图3所示

.

图3

假定CE 不发生水平虚位移, 由虚功方程可得

又因为

解得