● 摘要
数学、物理、流体力学、工程技术等学科中的许多问题最终都归结为求解一个或一些大型稀疏矩阵的线性代数方程组.众所周知,在求解线性方程组$Ax=b$时,一般有两种方法,即直接法和迭代法.线性方程组的直接法,用于阶数不太高的线性方程组效果较好,如果没有舍入误差,通过有限步操作,可以产生精确的解$x$.而迭代法由于程序设计简单可以减少存储量因而被广泛的应用于方程组的求解,特别是在大型稀疏线性方程组的求解中显出更强的优势.因此迭代方法是求解大型稀疏线性代数方程组的一种很重要的方法.而判断迭代方法好坏的标准通常是通它的收敛性和收敛速度,从而我们应该寻求种收敛性好且收敛速度比较快的迭代方法,这样才有实际价值.一般情况下迭代法的收敛速度是通过它的迭代矩阵的谱半径来衡量的.为了更好更快地求解线性方程组,引进了非奇异预条件子,通过预条件子的作用来加速迭代法的收敛速度.
一般来说,迭代法的收敛性与线性方程组系数矩阵的性质有着密切的关系.系数矩阵的类型不同,迭代法的研究方法也会有所差异.本文在文献[1]的基础上,给出了两种特殊情形的预条件子,并且假设线性方程组的系数矩阵为不可约的L-矩阵.利用矩阵分裂理论和特征值向量法比较预条件前后USSOR迭代法的谱半径,给出敛散性比较定理和其证明,最后用数值例子验证所提出的理论结果.本文在一定程度上推广和改进了原来已有的结论.