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一、计算题

1． 弯曲刚度为EI 的超静定梁及其承载情况分别如图1（a ）和（b ）所示。梁材料为线弹性，不计剪力的影响，试用卡氏第二定理求各梁的支反力。

图1

【答案】（l ）该结构为一次超静定梁。解除弹簧支座D 处多余约束，代之以约束反力X ，可得到如图2（a ） 所示基本静定系统，建立图示坐标系。 由平衡条件可得到A 、B 处铰支座的支反力:

由此可得到各段弯矩方程及其偏导数: AB 段

BD 段

在弹簧力作用下，D 点处的位移为:

与原结构相比，可得基本静定系得变形协调条件:

其中，由第二卡氏定理得到D 点挠度:

代入式①即:

解得:

由此可得各支座约束反力:

图2

（2）该结构为二次超静定结构。解除B 端约束，代之以约束反力x l 、x 2，如图2（b ）所示，建立图示坐标系。由此可得梁AB 的弯矩方程及其偏导数:

由于原结构中B 端固定，故可知静定系统中，B 截面的转角和挠度均为零。 ①根据θB =0，由卡氏第二定理可得:

整理可得:

②根据

，由卡氏第二定理可得:

整理可得:

联立式①、②得:综上，

，（逆时针）

，（顺时针）

2． 有一壁厚δ=25mm、内直径d=250mm的空心薄壁圆管，其长度l=1m，作用在轴两端面内的外力偶矩M e =180kN·m ，材料的切变模量G=80GPa。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。

【答案】（l ）最大切应力

其中

，故

（2）管内应变能为

3． 图所示矩形截面的细长压杆，其约束情况为下端在xy 和xz 平面内均为固定，上端在xy 平面内视为固定端，在xz 平面内可视为自由端。试求b 和h 的合理比值。

图

【答案】（l ）在xz 平面内失稳时，一端固定，一端自由，故

，中性轴为y 轴，则

，

（2）在xy 平面内失稳时，两端固定，知

，中性轴为z 轴，则

，故

（3）要使设计是最合理的，需满足压杆在两个平面内的稳定性相同，即得:

:

，弯曲刚度都是EI ，求载荷F 的临界值。

4． 如图1所示，杆1和杆2都是细长杆，且