● 摘要
产生于上世纪80年代的Quantale理论是理论计算机科学的数学基础之一, 与拓扑、代数、逻辑等学科有着密切的联系. 作为Quantale理论的一个相关结构, $m-$半格把$vee-$半格的结构和半群的乘法运算结合起来, 从而剩余格、Frame、Quantale和格序半群等都是特殊的$m-$半格. $m-$半格在Quantale理论的研究中有着重要的作用, 因为每一个凝聚式Quantale都同构于某个含最大元的$m-$半格的$vee-$半格理想之集构成的Quantale. 粗糙集理论是由Pawlak首次提出的, 旨在解决信息系统中的不确定性问题. 事实证明, 粗糙集理论在人工智能、 数据分析和认知科学中非常重要. 随着粗糙集理论的发展, 许多学者开始考虑将粗糙集理论和其研究方法应用到多种代数结构的研究中. 本文一方面对非空集合和格上的粗糙集展开进一步的研究, 另一方面将粗糙集理论和模糊集理论应用到$m-$半格上, 对$m-$半格上的Pawlak 粗糙集、粗糙模糊集、基于覆盖的近似算子、基于模糊覆盖的模糊粗糙集以及模糊理想分别进行研究. 主要内容安排如下:
第一章 预备知识. 本章给出了与本文相关的格论、模糊集以及粗糙集方面的概念和结论.
第二章 近似算子的若干性质. 探讨了非空集合上的粗糙集的一些性质, 研究了粗糙集的上、下近似算子与等价关系之间的联系, 证明了非空集合$U$上的等价关系之集完备格同构于由等价关系诱导的上、下近似算子之集. 利用拓扑理论的研究方法在$L-$模糊近似空间中引入了$T_{0}^{a}$ $L-$FA 空间、$T_{1}^{a}$ $L-$FA 空间和正则$L-$FA空间的定义, 并讨论了它们之间的关系.
第三章 $m-$半格的模糊理想. 首先给出了$m-$半格的模糊(素)理想的定义, 讨论了模糊(素)理想和(素)理想之间的关系, 研究了模糊理想之集的性质, 给出了模糊(素)理想和(素)
理想的等价刻画, 证明了含最小元的正序$m-$半格的像集中含1的模糊理想之集是分配$l-$半群. 其次, 讨论了$m-$半格的模糊理想与同余之间的相互构造以及由模糊理想诱导的同余的一些性质. 最后, 通过构造$vee-$半群同余, 探讨了$vee-$半群的分配性的等价刻画, 并在$vee-$半群的模糊$m-$半格理想之集和$vee-$半群同余之集之间找到了一个格同态.
第四章 格上的粗糙集. 首先进一步研究了上、下粗糙近似算子在格的理想(滤子)集上的不动点集的性质, 证明了上近似算子在分配格的理想(滤子)之集上的不动点之集关于包含序构成一个凝聚式Frame， 给出了下近似算子在有限格的理想(滤子)之集上的不动点的具体形式. 其次, 研究了格上$L-$ 模糊粗糙集的性质并讨论了$L-$关系与$L-$ 模糊粗糙集的联系. 最后, 给出了S--模糊粗糙子格和S-- 模糊粗糙理想(滤子)的概念并研究了它们的相关性质.
第五章 $m-$半格上的粗糙集. 首先引入了$m-$半格上的几种特殊的等价关系, 讨论了它们之间的关系并研究由它们诱导的Pawlak粗糙集的性质. 其次, 引入并研究了$m-$ 半格上的极小邻域近似算子, 证明了若覆盖是由所有上集组成, 则极小邻域上近似算子$overline{apr}_{N}$在$m-$半格理想之集上的不动点之集是代数格. 最后, 引入了基于模糊覆盖$Phi$的$Phi-$上(下)模糊粗糙近似算子并讨论了$m-$半格上这些近似算子的性质.
第六章 $m-$半格的粗糙模糊理想. 首先针对第三章给出的$m-$半格上由模糊(素)理想诱导的同余, 讨论了关于这种同余的上(下)粗糙模糊近似算子的性质. 其次引入了$m-$ 半格的粗糙模糊(素)理想的概念并讨论了$m-$半格上的粗糙模糊(素)理想与模糊(素)理想的关系以及粗糙模糊(素)理想与(素)理想的关系. 最后, 讨论了上(下)粗糙模糊理想和它们的同态像的上(下)近似之间的联系以及上、下粗糙模糊理想之集的一些性质, 证明了在某些条件下每一个$m-$半格的下粗糙模糊理想都可表示成下粗糙模糊理想之集中一个上定向子集的并.
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