2017年吉首大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？
【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式
再由林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
, 从中解得
, 所以取
, 即应有23个此种元件, 可
. 则
, 根据题意可列
有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.
2． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求
【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为
且由
知
3． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
，其中
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ）
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
4． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件
为“钥匙掉在宿舍里”，
为“钥匙掉在教室里”，
为“钥匙掉在路上”，事
5． 我们知道营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关. 为能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者之间的关系. 现收集了如下九组数据（单位：亿元）：
表
1
件B 为“找到钥匙由全概率公式得
（1）画散点图；
（2）建立一元线性回归方程，并作显著性检验（取区间；
（4）若已知回归直线过原点，试求回归方程，并在显著性水平0.05下作显著性检验. 【答案】（1）散点图如图
，列出方差分析表； ）
（3）若已知某年社会商品零售额为300亿元，试给出营业税税收总额的概率为0.95的预测
图
类似的问题我们己经做过多次，此处我们使用MA TLAB 统计软件来进行，把数据输入到worksheet 中，在选项stat 中选择regression. 在弹出的对话框中将因变量和自变量选入即可，得到的回归方程为
方差分析表如下：
表2
根据以上结果，在显著性水平下，回归方程是显著的.
（3）按照（2）的步骤进入regression 对话框，点击options 后，在prediction of new observation中给出自变量x 的值300，就可以得到y 的0.95预测区间为[9.688，14.999].
（4）若想要拟合不带截距的过原点的回归方程，只要在options 中在Fitintercept 选项中不选，即可得到过原点的回归直线为
此时检验的P 值为0.000，因此在显著性水平
下，
过原点的回归方程是显著的.
6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的相关系数.
【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差
.
最后可得X 与Y 的相关系数
7． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？
【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为
表
1