题目：流体力学中若干连续和离散孤子方程的解析解及相关性质研究

流体力学和等离子体中很多非线性现象都可用连续和离散的孤子方程来描述。当考虑非连续介质中的孤子问题时，离散的孤子方程往往比连续的孤子方程能够更好地描述自然界和科学、工程问题中的非线性现象，因此这类模型引起了关注，其中一个研究课题就是如何寻求这类离散的孤子方程的解析解（主要是多孤子型解）。求解孤子方程的方法有Darboux变换、反散射方法、Hirota双线性方法等以符号计算为基础的解析方法，其中Darboux变换的主要的思想是寻找一种保持孤子方程的Lax对形式不变的规范变换，从而把非线性问题转化为线性问题解决。据我们所知，利用N波Darboux变换研究离散孤子方程的成果还比较少，将N波Darboux变换从连续孤子方程推广到离散孤子方程是有一定意义。本文以Darboux变换为主线，以计算机符号计算为工具，对流体力学和等离子体中的若干连续和离散的孤子方程进行研究，得到了这些方程的孤子解析解，并通过图像对这些解析解的力学行为进行分析。本文讨论的孤子方程以及相关问题的研究有助于揭示孤子方程的力学本质和规律，从而为实际应用提供理论基础。基于计算机符号计算，本文研究的流体力学和等离子体中的连续和离散孤子模型主要有：浅水波中六阶Korteweg-de Vries (KdV) 可积模型、浅水波中的(2+1) 维广义浅水波模型、等离子体中的离散的Volterra晶格模型、离散的晶格Burgers模型、描述非线性波传播的离散的耦合晶格孤子方程，这些模型在流体力学和等离子体中刻画孤子或孤波的传播。 本文的主要内容包括以下几个方面：(1) 借助计算机符号计算和奇异流形分析对连续的(1+1)维高阶和(2+1)维孤子方程进行研究，构造了它们的Darboux变换；(2)借助符号计算构造了离散模型的Lax可积梯队，并在此基础上构造了它们特殊的N波Darboux变换；(3) 利用构造的N波Darboux变换，研究了上述流体力学和等离子体中的离散孤子模型行列式形式的多孤子型解；(4)分析了上述模型孤子型解的相关动力学性质,特别讨论了离散多孤子解的弹性和非弹性作用。(5) 利用离散模型的Lax对，研究了上述离散孤子方程的无穷守恒律。本文的主要方法、结论及内容的具体安排如下：一、绪论本文的第一章介绍了流体力学和等离子体中孤子和孤子方程的概念、发展历史、研究方法以及本文的立论背景和研究内容。二、研究流体力学中六阶KdV可积模型的Darboux变换和孤子解本文的第二章，研究了流体力学KdV类方程中的六阶KdV可积方程，基于该方程的Lax对，利用计算机符号计算构造了该方程具有一个变量参数的Darboux变换，并利用符号计算验证了它们的正确性。通过选取不同的种子解，利用Darboux变换得到了该方程的一些解析解，利用计算机作图模拟了孤子的形状及运动规律。本章所用的Darboux变换方法为构造同类高阶可积的孤子解的提供了一定参考。三、研究(2+1)维广义浅水波模型的Darboux变换和孤子型解本文的第三章，研究了描述海洋中水波传播的(2+1) 维广义浅水波方程，借助符号计算对该方程进行奇异流形分析，基于Painlevé截断展开构造了它的Lax对, 并利用符号计算验证了正确性。基于获得的Lax对，构造了该方程的Darboux变换，通过选取两个不同的种子解，给出了一次迭代行波解和二次迭代行波解和一个含有任意函数的多孤子形式的一次迭代行波解，并通过计算机作图模拟了孤子的形状及运动规律。所得结论可以解释海洋中浅水波的传播规律，并为海岸和海港建设提供一定的参考意义。 四、研究流体力学中的离散的晶格Burgers模型的多孤子型解本文的第四章，研究了流体力学中Burgers方程的离散形式离散的晶格Burgers方程，基于一个离散谱问题，给出了该方程的一个Lax可积梯队，并且给出了梯队中前两个方程以及它们的Lax表示，基于获得的Lax对，直接构造了该方程特殊的N波Darboux变换，通过选取种子解，利用构造的N波Darboux变换，得到了行列式表示的多孤子解，计算机模拟了方程的二/三孤子之间的非弹性相互作用和弹性相互作用共存现象。本章所用的方法为构造流体力学中其他类型离散孤子模型的N波Darboux变换和行列式形式的孤子解提供了一定参考。五、研究等离子体中的离散的Volterra晶格方程的多孤子型解本文的第五章，研究了流体力学中modified Korteweg-de Vries (mKdV)方程的离散形式离散的mKdV方程和等离子体中的离散的Volterra晶格方程，基于一个离散谱问题，给出了离散的Volterra晶格方程的一个Lax可积梯队，并且给出了梯队中前两个方程以及它们的Lax表示，基于得到的Lax对，直接构造了离散的Volterra晶格方程的一个特殊的N波Darboux变换，通过选取种子解，利用构造的特殊的N波Darboux变换，得到了行列式表示的多孤子解，利用计算机模拟了方程的二孤子和三孤子之间的相互追赶碰撞之间的非弹性作用现象。六、研究非线波传播的离散耦合晶格孤子方程的多孤子型解和弹性作用本文的第六章，研究了可以一个描述非线性波传播的离散耦合晶格孤子方程，基于该方程的Lax对，直接构造了该方程的N波Darboux变换，通过选取种子解，得到了Vandermonde型行列式表示的多孤子解，利用计算机模拟了该方程一、二、三、四孤子解，并重点研究了四孤子之间的相互追赶作用之间的完全弹性作用现象。