● 摘要
在流体力学领域中，水波是一种典型的自然现象，基于水波运动形态的多样性，人们建立了不同的水波模型来模拟水波这种自然现象。由于水波中的孤子具有能量集中在有限区域、并且稳定存在的性质，水波中的孤子模型引起了人们的关注。作为现代非线性科学的三个分支之一，孤子理论起源于流体力学，在流体力学领域中发展壮大，现在已经出现在许多自然科学领域中。在流体力学领域，孤子现象几乎遍及世界上所有海域。正是由于孤子具有能量集中在有限区域并且稳定存在的性质，使得它的破坏力大，由此产生的损失也严重，因此了解和掌握孤子的力学性质以及传播规律，有着很现实的意义和应用价值。本文借助于计算机符号计算，主要研究了流体力学中几种变系数的浅水波模型：描述浅水中弱非线性弱色散长波运动的变系数扩展Boussinesq模型、描述浅水中弱非线性弱色散变水深表面长波运动的变系数色散水波模型、描述具有变化水深的浅水中两个水平方向上非线性色散长重力波运动的变系数变形Boussinesq模型和描述浅水中的弱非线性弱色散的变水深长波运动的变系数高阶色散水波模型，具体的内容安排如下：第一章主要介绍了孤子的发展历史和孤子形成力学机制，流体力学中的几种主要的非线性发展方程和研究方法，以及本文的立论背景和研究内容。第二章主要研究的是一个描述浅水中的弱非线性弱色散的长波运动模型，变系数扩展的Boussinesq模型。首先，我们得到了该模型在满足一定约束条件时的Lax对，由此证明了模型具有Lax可积性。然后，我们分别构造了模型的一次Darboux变换和N 次Darboux变换，使得我们能够由模型的平凡解得到模型的非平凡解。最后我们得到了两种Darboux变换情形下模型的非平凡解，并用图形描述了孤子解的力学结构以及它们的相互作用关系。第三章主要研究的是一个描述浅水中的弱非线性弱色散的变水深表面长波运动模型，变系数色散水波模型。首先，由Painlev´e检测程序，我们得到了模型Painlev´e可积的约束条件；由零曲率方程的相容条件，我们得到了模型Lax可积的约束条件；经过比较，我们知道模型在Lax可积的条件下也是Painlev´e可积的。然后，我们利用Darboux变换方法，由模型的零平凡解得到模型的孤子解。最后，我们并用图形描述了孤子解的力学结构以及相互作用关系。第四章主要研究的是一个描述具有变化水深的浅水中两个水平方向上的非线性色散i摘要长重力波的运动模型，变系数变形的Boussinesq模型。首先，我们得到了模型Lax可积的约束条件和它的Lax对。然后，我们分别构造了模型的两个基本的Darboux变换，并由零种子解出发，分别得到了两个Darboux变换情形下模型的非平凡解以及两个Darboux变换叠加得到的非平凡解。最后，利用图形我们对模型的非平凡解的力学结构以及相互作用关系进行了分析。第五章主要研究的是一个描述浅水中的弱非线性弱色散的变水深表面长波运动的模型，变系数高阶色散水波模型。首先，借助于计算机符号计算，我们得到了模型的Lax对，并由此证明了模型具有Lax可积性。然后，我们构造了模型的一次Darboux变换，并由两组平凡解出发，分别得到了两种情形下模型的非平凡解，同时，我们给出了这两组非平凡解是解析解的约束条件。最后，利用图形我们对模型的非平凡解的力学结构以及相互作用关系进行了分析。