● 摘要
计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）已成为现代飞行器设计与研究中一个有力而高效的工具，但是CFD在理论、物理模型、数值方法等方面仍需要进一步发展，在计算可靠性和计算精度方面还需要进一步加强。高阶精度格式是提高计算可靠性和计算精度的一个重要途径，而间断Galerkin（discontinuous Galerkin, DG）方法则是发展较为迅速的一类高阶格式。但是该方法在激波捕捉，隐式求解，湍流RANS模拟等方面还需要进一步发展。因此，本文针对高阶DG方法展开一系列深入研究，以期为可压缩流动的模拟提供精确和高效的数值方法。
首先，开展离散Navier-Stokes（NS）方程的DG方法研究，包括：①给出曲线坐标系下DG离散NS方程的数值方法；②针对三角形和四边形网格，利用样条插值策略给出了一种高阶近似物面几何的方法；③建立DG程序框架，并采用OpenMP方法实现非关联计算过程的并行执行。④完成针对Euler方程和添加源项的NS方程的精度测试，通过典型算例验证程序的正确性。
其次，开展高阶DG格式的激波捕捉方法研究，发展了高阶、紧致的Hermite WENO（HWENO）限制器，并将其用于DG方法的限制过程以消除激波附近非物理振荡。HWENO限制器采用了DG方法中容易获得的导数信息并且以Hermite多项式为基础进行WENO重构。最终构造多项式的数目与WENO重构相同，但却保证了DG模板紧致的优势，这是高阶HWENO限制器最突出的优点。典型的激波捕捉考核算例的结果表明，提出的限制方法并不破坏原始DG格式的精度，同时能够获得基本无振荡的激波外形和阶数达到四阶精度的数值解。
然后，开展高阶DG格式的隐式求解方法研究，包括：①结合DG给出了两类隐式时间离散方法，BLU-SGS（block lower-upper symmetric Gauss-Seidel）方法和LLU-SGS（linearized lower-upper symmetric Gauss-Seidel）方法。两类隐式格式都只需存储块对角矩阵，一定程度上减缓了高阶格式对内存的需求，同时计算效率要高于显式格式一个量级。②应用三阶和四阶带有HWENO限制器的DG方法，同隐式格式相结合，开展从不可压流动到高超声速流动的数值模拟，验证方法的鲁棒性和精确性。③基于结构/非结构混合网格，采用线隐式方法，提高DG隐式求解器在大长细比网格上的计算效率。④发展两类p多重网格法以及预处理的Newton-GMRES方法，采用有效方式进一步加强方法的鲁棒性和计算效率。⑤将发展的p多重网格法和预处理的Newton-GMRES方法进一步扩展到非定常算法，构造了时空高阶的非定常隐式求解格式。通过典型流动对比评估了三类求解器的性能，并验证方法对非定常流动模拟的效率和精度。
最后，基于结构/非结构混合网格，开展高阶DG离散框架下的Baldwin-Lomax（BL）模型及Spalart-Allmaras（SA）模型的应用研究。包括：①采用简单有效的方式将修改后的BL模型和DG方法相结合，并推广应用于非结构网格。②针对SA模型方程，发展一种保持正值的HWENO限制方法，在保持高阶精度的同时能避免负的涡粘性系数相关量的产生。典型流动结果表明，提出的方法有较好的网格和精度收敛性，能够有效增加DG RANS模拟的鲁棒性