2018年仲恺农业工程学院园林植物与观赏园艺314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3．
设二次型
（1
）证明二次型f
对应的矩阵为
（
2）若
【答案】（
1）由题意知，
记
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵
，因此B 是正定矩阵，
且
正交且均为单位向量，
证明f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为
（
2）证明：设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，
由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量
； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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4．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5． 设3阶矩阵A
的特征值为
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，
故知向量组
线性无关，
于是若记矩阵
则
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