● 摘要
对于线性方程组Ax=b的求解,主要有直接法求解和迭代法求解.高斯消元法是直接解法里最重要的解法.数学、物理以及力学等学科和工程技术中许多问题的最终解决都归结为一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组.随着电子计算机的出现和迅速发展,需要求解的问题的规模越来越大,大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心,而对这种方程组一般采用迭代法求解.
我们通常用的迭代法有Jacobi, Gauss-Seidel等古典迭代法, 还有SOR(successive overrelaxation), AOR(accelerate overrelaxation), SSOR(symmetric successive overrelaxation), SAOR(symmetric accelerate overrelaxation), GAOR(generalize accelerate overrelaxation)等迭代法.迭代格式的收敛性和收敛速度成为一个很重要的问题,成为人们关注的焦点.不收敛的格式当然不能用,虽然收敛但收敛很慢的格式不仅是人工和机器的时间比较浪费,而且还不一定能解出结果,实际应用价值太小.因此必须寻求收敛速度比较快的迭代格式和确定格式中的某些参数,如SOR迭代法中的松弛因子.一般来说,迭代法的收敛性与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系,例如非负阵、循环阵、M阵、H阵等等.矩阵不同,迭代法的研究方法也会有所差异.因此,讨论某种迭代法时,往往是在指定矩阵类型的前提下进行的.此外,还有一些加速迭代法收敛的方法,如预条件,半迭代法等.最优参数的讨论是很多学者关心的问题,它的研究在方程组的求解上有着很重要的意义. 本文主要讨论了线性方程组的系数矩阵为对角线元素非零的(1,1)相容次序矩阵时SAOR迭代方法和求解鞍点问题GSOR-Like迭代方法收敛的充要条件以及最优参数的选取.详细内容说明如下: 第一章,概述了相容次序矩阵迭代法的发展过程,同时介绍了近年来一些求解鞍点问题的方法以及研究最优参数的意义,最后说明了本文的主要研究工作. 第二章,主要讨论了当线性方程组的系数矩阵为对角线元素非零的(1,1)相容次序矩阵时SAOR迭代方法的收敛性.利用SAOR迭代矩阵的特征值 和Jacobi迭代矩阵的特征值 之间的关系,分别从Jacobi迭代矩阵的特征值是实数且模全大于1、纯虚数、一般复数等方面来讨论,同时研究了当参数 , 为复数时的情况,得到了该方法收敛的充要条件和最优参数,最后给出了数值例子. 第三章,通过对方程组系数矩阵进行分解,引入预处理矩阵Q.按照研究求解鞍点问题GSOR的迭代方法,首先给出了GSOR-Like方法的迭代矩阵 ;其次推导出了 的特征值 和 的特征值 之间的关系以及该方法收敛的充要条件 ;最后得到了最优参数以及用数值例子进行了验证.
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