2018年广东省培养单位华南植物园603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
（Ⅱ）由于故
故二次型 2． 已知
，
求
【答案】
令则且有
1
所以
3． 设
B
是
（I ）证明（II ）证明（III ）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，求行列式
（
II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p
,
使
或1.
4．
设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
作初等行变换，
如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题