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一、填空题

1 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值

则力学量算符与态矢

【答案】

2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。

【答案】

3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

4． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

5． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

图

【答案】

6． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

二、证明题

7． 证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。

8． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

三、综合分析题

9． 回答以下问题：（1）在散射实验中，入射粒子束可以近似用一个平面波入射方向为z 轴方向），设相互作用为一个中心势行为，并指出其中各项的物理含义。 （2）用玻恩近似法计算粒子对

势【答案】（1）体系的

方程为：

令

则由上式可得：

此时波函数由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面波

部分是描写散射粒子的球面散射波

入射波的几率流密度为：

也就是入射粒子流强度。 散射波的几率流密度：

可得单位时间内累过面积

的粒子数：

来描述（取处在渐近

试写出粒子的波函数在

的微分散射截面

另一

因为v =N, 所以微分散射截面为：

10．设体系的哈密顿量

【答案】

满足

证明，

其中所以有

11．两个质量为的粒子被局限在边长a ＜b ＜c 的长方体盒中，粒子间的相互作用势可视为微扰，在下列条件下用一级微扰方法计算体系的最低能量： （1）粒子为非全同；

（2）粒子为零自旋的全同粒子； （3）粒子为自旋积分公式：

【答案】（1）先不考虑微扰，单粒子态波函数与能量分别为

的全同粒子，并处在总自旋S = 1的态上。