题目：向量值扰动优化原理与凸分析的若干问题

无穷维空间中的扰动优化理论作为凸微分分析的一个分支,在Banach 空间几何理论、数学规划、控制理论、决策论、非光滑分析以及非线性分析等领域都有广泛应用.自经典的Ekeland变分原理以来,人们在Banach空间和完备的度量空间中讨论了各种各样的下半连续函数的扰动优化原理,但对于序下半连续函数的向量值变分原理的并不多,加之向量值变分原理同数值变分原理相比在实际应用中的优越性,本文主要考虑序下半连续函数的向量值Ekeland变分原理和完备空间的向量值扰动优化。.以凸函数的微分理论为主线的无限维空间上的凸微分分析,自著名的Mazur定理始,已经进行许多年.这不仅仅因为“凸”可以使许多复杂而抽象的数学内容变得简单而直观,也不仅因为它在许多学科分支,如控制论、最优化理论、数学规划、大范围分析、无穷维动力系统、生物数学与生物工程、金融数学与金融工程、非线性分析等领域有着许多成功的应用,还因为它把一些表面上看起来互不相关的数学分支内容,如Banach空间几何学、向量值测度与微分、单调算子理论、无限维空间中的扰动优化理论和变分理论等有机地结合为一体。由于凸集及相应的凸函数在生活的各个方面中的应用越来越广泛，但是其前提始终是集合或者函数整体是凸的，这样一来就使得在使用时显得比较狭隘。因此，能否推广到比较一般的情况就显得十分重要了。本文在凸微分中主要是把凸性局部化，这样就能处理一些非凸集合或者函数的性质，并给出了类似于分离定理得一般形式。后续工作可以继续推广，把凸集的许多好性质，应用到非凸集和上。