● 摘要
受其它学科和众多工程技术领域应用的驱动, 关于Sturm-Liouville算子逆问题的研究已引起国内外学者的极大兴趣和高度重视. 迄今为止, 它已成为应用数学领域中发展和成长最快的课题之一. 逆谱和逆结点问题是逆问题研究中两个重要的基础课题, 它们在地球物理、量子物理、气象学等领域具有广泛而直接的应用, 同时也是数学物理中求解非线性发展方程的有效途径.
本文首先针对经典Sturm-Liouville算子的逆谱和逆结点问题展开研究, 进而考虑了内部点条件含谱参数的Sturm-Liouville算子的逆谱和逆结点问题, 分别给出了实现势函数和边界条件参数的唯一性条件及其重构算法. 主要工作包括:
第一章 首先总结Sturm-Liouville算子产生的物理背景及其逆问题的研究现状, 其次介绍本文的主要工作.
第二章 研究经典Sturm-Liouville算子的逆两组谱问题. 通过增加界面条件而边界条件不动的方法获得了第二组谱, 利用这组谱与原算子的一组谱证明了相应的唯一性结论, 推广了Borg的两组谱定理. 进而又考虑了两组谱都是通过改变界面条件的参数而得到的情形, 首先分析这两组谱之间的关系, 其次考虑相应的唯一性问题: 当第一个参数相同而第二个参数不同时, 两组谱满足经典的交错性, 并且唯一性结论成立; 然而当第一个参数不同时, 两组谱并不满足交错性, 唯一性结论不一定成立, 此时至多有有限多个势函数与这两组谱对应, 进一步又给出了使得唯一性成立的条件.
第三章 研究势函数在内部子区间上已知的Sturm-Liouville算子的逆谱问题. 借助于部分的特征值和部分的内部谱数据, 证明了相应的唯一性定理; 进一步考虑了势函数局部光滑的情形, 证明了在唯一性成立的前提下, 一些特征值和内部谱数据可以缺失, 从而推广和改进了Hochstadt-Lieberman和Gesztesy-Simon的逆谱定理.
第四章 研究结点子集在内部子区间上已知的Sturm-Liouville算子的逆结点问题. 针对逆结点唯一性问题中的超定现象进行了比较全面的讨论, 首先考虑1/2属于区间内部的情形, 证明了已知的结点信息仅需要在这个内部子区间``孪生稠"就可以保证相应的唯一性结论成立, 而此时的区间长度可以为任意小. 特别的, 当内部子区间关于1/2对称时, 所给的条件实现了非超定的最优状态. 其次考虑了1/2不属于内部子区间的情形, 借助于额外的谱信息证明了相应的唯一性定理, 从而回答了Yang在2001年提出的一个公开问题.
第五章 研究内部点条件含谱参数的Sturm-Liouville算子的谱及逆谱问题. 首先建立该问题的算子理论框架, 实现其自伴微分算子刻画, 分析其谱的性态, 并给出相应的展开定理; 其次给出特征值及其方程解的渐近表达式; 再次利用Weyl函数、离散谱数据、两组谱分别证明了相应的唯一性定理, 并探明在势函数的唯一确定性问题上, 这三类谱数据的作用是等价的; 最后借助于谱映射的方法分别给出这三类谱数据实现势函数的重构算法.
第六章 研究内部点条件含谱参数的Sturm-Liouville算子的逆结点问题. 在特征值和结点的渐近性能不好的情况下, 借助于第四章中建立的处理逆结点问题的方法, 并将第四章中``孪生稠"的条件扩展为``双边稠", 证明了相应的唯一性定理, 并给出了利用结点重构势函数的算法.
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