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一、填空题

1． 若对偶问题为无界解，则原问题:_____。

【答案】无可行解

【解析】任一对偶问题的可行解都是原问题的上界，而原问题的任意可行解都是对偶问题的下界。若对偶问题为无界解，则原问题的目标函数即没有可行解。

2． 流f 为可行流必须满足_____条件和_____条件。

【答案】容量限制条件和平衡条件

【解析】在运输网络的实际问题中可以看出，对于流有两个明显的要求:一是每个弧上的流量不能超过该弧 的最大通过能力（即弧的容量）; 二是中间点的流量为零。因为对于每个点，运出这点的产品总量与运进这点的 产品总量之差，是这点的净输出量，简称为是这一点的流量; 由于中间点只起转运作用，所以中间点的流量必为 零。易而发点的净流出量和收点的净流入量必相等，也是这个方案的总输送量。

3． 在用对偶单纯形法求解某线性规划问题时, 当进基变量x i 确定后，出基变量的选取原则是:_____。

【答案】

无界，即无限小，则z 无解，

4． 在灵敏度分析时, 当LP 某系数发生变化使原最优单纯形表中的解为该LP 的一个正侧解，但不是可行解, 为求新的最优解, 处理办法是:_____。

【答案】对偶单纯形法

二、证明题

5． 证明:r （x ）二x12+x22是严格凸函数。

【答案】首先求导为（2x l ，2x 2:） 求海塞矩阵

为正定矩阵，所以f （x ）为严格凸函数

6． 对于单服务台情形，试证: （1）定长服务时间长服务时间

是负指数服务时间

的一半。

【答案】对于

排队系统，

当k=l时，则

变成M 分布，即上式指标变成M/M/1排队系统指标，即

当k →∞时，则

分布变成D 分布，即上式指标变成M/D/l排队系统指标，即

所以，

定长服务时间时间

7． 设线性规划问题解。

【答案】其对偶问题为设

，

即可得

，由此得

，即是

1

有最优解，B 为最优基，证明单纯形乘子CB 是对偶问题的最优

，是负指数服务时间的一半; （2）定

，是负指数服务时间的一半; 定长服务时间是负指数服务

的一半。

是原问题的最优解，则其对应的基矩阵B

必存在，这时Y 是对偶问题的可行解，它使

由于原问题的最优解，使目标函数取值

对偶问题的最优解，因此单纯形乘子

8． 在M/M/1/N/∞模型中，如

，是对偶问题的最优解。 ，试证

应为，于是。

【答案】系统在t 时刻的顾客数N （t ）仍是一生灭过程，且有

当t=+∞时，由系统的稳定状态概率可得

三、计算题

9． 现有某集团公司下属甲、乙、丙、丁、戊五个生产企业，生产同一种产品，价格、质量都相同。需要供 应A 、B 、C 三个地区。单位运输费用、各企业的产量、各地区的需求如表所示。其中B 地区的需求必须满足。集团公司的目标是使总运输费用最低。

试求解这个运输问题。

表

【答案】这是一个产销不平衡的运输问题，销量大于产量，构造一个虚拟的产地己，其产量，产地为10。由于B 地区的需求必须满足，所以产地己到B 地区的单位运价为M （无穷大的数）己到其他地区的单位运价为0。建立产销平衡表如表所示:

表

首先，用伏格尔法寻找得到初始基可行解。

表