● 摘要
在单位圆盘D内，从双曲几何的角度，有两个与欧氏凸性相联系的方面，一个是双曲凸性，另一个是双曲 凸性，而与这两种凸性密切联系的是双曲凸函数和双曲 凸函数。本篇文章主要针对双曲凸函数和双曲 凸函数理论，进行更加深入的研究，与欧氏凸函数相类似，我们从判定定理、畸变定理、偏差定理、增长定理等方面对这两类函数不断进行发掘和研究，得到了一些很好的结果。全文结构安排如下：第一章简要地介绍了欧氏凸函数和双曲凸函数的研究背景以及国内外学者对这两类凸函数的研究成果，介绍了几个目前为止较为重大的未解决问题，在此基础上引出了本文的研究课题。第二章分别介绍了双曲度量、双曲凸函数、双曲 凸函数、双曲 凸函数等的定义和性质，以及各类函数之间的密切联系，从而为后面两章的进一步陈述提供充足的理论依据。第三章研究了正规化双曲凸函数族 中函数的双曲 凸性的半径，提出了双曲凸函数两个变量的等价定理。第四章主要对以下问题进行了细致的探讨，对双曲 凸函数族 ，将它的等价描述特征由两个变量扩展到三个，并首次对它的第二类微分算子 进行了探讨，给出了其范围；而对于正规化的双曲 凸函数族 中的函数 ，估计了 的范围，同时对微分 进行了研究。最后是全文工作的总结，给出了开放性的问题及作者进一步的研究方向。关键词：双曲凸函数 ，双曲 凸函数，正规化，微分算子
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