● 摘要
利用径向基函数构造插值函数是一种适合于多元散乱数据插值的方法。径向基函数是借助一元函数生成的多元函数，在计算机里表示时，具有明显的存储方便和运算简单的优点。因此，在高维空间中，利用径向基函数构造逼近函数，比如，构造径向基插值函数和拟插值函数，近几年成为人们研究的热点。本文对径向基插值函数的一般理论及其应用进行了研究。主要包括在无穷均匀网格数据域和有界散乱数据域上，如何利用径向基函数构造具有多项式恢复功能的拟插值函数，以及通过拟插值函数构造求解非线性双曲方程的数值格式。全文结构安排如下：第一章，介绍了径向基插值函数的背景, 国内外学者在径向基插值函数理论和应用方面所取得的研究成果。同时，也指出了构造径向基插值函数所存在的困难，在此基础上引出了本文的研究课题。第二章，介绍了径向基函数的定义和特点，着重对正定径向基函数的性质、判定条件、以及具有紧支撑的正定函数的构造进行了论述，并列举了一些常用的径向基函数。第三章，本文在一维和二维无穷均匀网格数据域上利用高斯径向基函数和分段连续函数的卷积分别构造了具有二次和三次多项式恢复功能的拟插值函数，这些拟插值函数不仅具有紧支撑，而且也有较好的收敛性，可以方便科学计算。第四章，文章在一维有界散乱数据域上，利用三次multiquadric径向基函数构造了具有二次多项式恢复功能的拟插值函数，并证明了本文构造的拟插值函数具有较好的保形性和较高的逼近阶。第五章，文章利用第四章构造的拟插值函数构造了求解非线性双曲方程的数值格式，此格式不仅可以节省计算开销，而且也有较高的精度。最后是全文工作的总结，给出开放性问题以及作者下一步研究的方向。