2018年新疆农业大学草业与环境科学学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
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2
． 设三阶方阵A 、
B
满足式
的值
.
其中
E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】由矩阵知则.
可
逆. 又
故即
所以即而
故
3
． 已知A 是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解. 对
有非零公共解，
求a 的值并求公共解
.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组【答案】
（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
得到所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0
与Sx=0
的非零公共解为
由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则
既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，解出
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因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为 4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
其中t 为任意常数.
令
非零可知，是A 的个
即
所以
故
二、计算题
5． 设有向量组A
:
（1）向量B 不能由向量组A 线性表示；
（2）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一；
（3）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式. 【答案】
记矩阵
，那么方程AX=B（1
）有解
可由向量组A 线性表示，
（1）当方程（1）的系数行列式
及向量
问
为何值时