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一、计算题

1． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为

诸观测值相互独立.

（1）写出的最小二乘估计，和（2）对给定的

【答案】（1）由最小乘法原理，令

的无偏估计；

求

则正规方程为

其对应的因变量均值的估计为

从中解得届的最小二乘估计为不难看出

于是，由

有

将

写成

的线性组合，利用

间的独立性，有

由此即有

从而

这给出

的无偏估计为

于是

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（2）对给定的对应的因变量均值的估计为

2． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

3． 假设只考虑天气的两种情况：有雨或元雨. 若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1-p. 设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率.

【答案】设事件

为“第i 天无雨”，记_1

所以由全概率公式得

得递推公式

所以

将由此得

4． 设随机变量X 服从二项分布b ，随机变量Y 服从二项分布b . 若（2，p ）（4，p ）试求

【答案】从

中解得p=2/3.由此得

代入上式可得

则有

且

5． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?

【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为

表

1

所以保险公司的期望收益

为

中解得

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由即

从

所以取即可满足要求.

表

2

注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有

由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.

6． 求一回归直线y=A+Bx，使所有样本点小.

【答案】点

到直线y=A+Bx的垂直距离的平方为

如今要求A 与B ，使

使用微分法，并命其导数为零，可得如下两个方程：

由（*）式可得

并将其代入（**）式，可得

注意到恒等式

可将上式化为

使用相同的记号

则上式可表示为

整理后可得如下的二次方程：

由于判别式

故此二次方程有实根

.

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到该直线的垂直距离平方和最