2018年北京师范大学物理学系959量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
C 为积分常数，可由归一化条
即为厄米算符。
具有周期性，
所以
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
2． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即
亦即两个波函数对应态矢正交.
二、计算题
3． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，
将
用
【答案】利用于是
4． 在自旋态【答案】
下，求在自旋态j
下：
和E. ，表出，其中
是能量本征值为E. ，的本征矢。
可得即
所以有：
5． —个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态
第一激发态
【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：
其中，于是可知能量为
为自旋波函数。 简并度等于
因此相应能量为相应简并度为6。
6． 质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的
分别是基态和第一激发态.
是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.
时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概
第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：
【答案】（a ）如图建立坐标系，
图
设波函数当
哈密顿算符
满足薛定谔方程时，