2018年中国地质大学(武汉)地球物理与空间信息学院610高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
从
的基
故
2．
行列式
=_____.
到基
的过渡矩阵为_____.
【答案】
【解析】设过渡矩阵为P ，
则
【答案】4!3!2! （或288）
【解析】第2, 3, 4行提出公因子2, 3, 4, 再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得
3．
设
【答案】【解析】因为
即
那么（A+2E）（A-7E ）+18E=0
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，其中
是n 维列向量，且=_____.
得故 4．
已知
【答案】3或-1 【解析】因
为
线性无关，若线性相关，则_____.
线性相关，故有不全为0
的
使
即由于
线性无关，故必有
因为
不全为0, 所以上述齐次方程组有非零解. 系数行列式必为0, 于是
从而
二、选择题
5．
组
若向量组（III ）线性相关，则（ ）。
A. B. C. D.
均线性相关
中至少有一个线性相关
一定线性相关
一定线性相关
都是n 阶矩阵，记向量
【答案】B
【解析】
线性相关即中至少有一个线性相关.
6． 设A ，B , C 均为n 阶矩阵，若AB=C，且B 可逆，则（ ）。
A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】B
【解析】把矩阵A , C 列分块如下
：
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由于AB=C, 则可知
得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表
示，同时由于B 可逆，
即
同理可知，矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，
故矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.
7． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
8． 设A
是
矩阵是A 的转置，若谁是齐次方程组的基础解系，
则秩
A.t
B. C. D.
矩阵，
知是又因
是齐次线性方程组
的基础解系由四个线性无关的解向量所构成，现在仅三个
矩阵，那么
所以
的基础解系，
则
是n 个方程m 个未知数的齐次线
的基础解系还可以是
（ ）。
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
【答案】C 【解析】由于A
是性方程组，
从而
9．
设
（ ）。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】B 项，由己知条件知解向量，个数不合要求，因此排除.
AC 两项，虽然都有四个解向量，但因为
说明解向量组均线性相关，因而也不是基础解系. D 项，
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