● 摘要
算子理论产生于20世纪,由于其在数学和其它科学中的广泛应用,
所以在20世纪的前三十年就得到了很大的发展. 随着这一理论的不断发展,
现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支. 它与量子力学,
线性系统和控制理论,以及其他一些重要数学分支都有着密切的联系和相互渗透.
本文主要对Aluthge变换的值域中的代数算子,
幂等算子和Aluthge变换的平移性质进行了研究.
同时还考虑了Aluthge变换的值域的闭性和稠性.
具体内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,
定义和后两章要用到的一些定理等.
第二节我们介绍了谱,点谱,近似点谱,幂等算子,Aluthge变换, *-Aluthge变换
等概念. 第三节主要给出一些熟知的定理,同时还给出了$widetilde{T}$和$widetilde{T}^{(*)}$
的几种谱之间的关系.
第二章首先证明了$mathcal{B}(mathcal{H})$上Aluthge变换的值域中的代数算子,
幂等算子和Aluthge变换的平移性质.证明了一个算子$T$的Aluthge变换$widetilde{T}$
是代数算子的充要条件是$T$是代数算子,并给出了$widetilde{T}$是幂等算子的充要条件.
当$mathcal{H}$是有限维希尔伯特空间时,证明了如果算子$T$的Aluthge变换具有平移性质
$widetilde{T+lambda}=widetilde{T}+lambda$,$forall$ $lambdain mathbb{C} $,
则$T$是正规算子.
第三章我们考虑了Aluthge变换的值域的闭性和稠性.我们证明了$R(igtriangleup)$在
$mathcal{B}(mathcal{H})$中既不闭也不稠,但是如果$mathcal{H}$是无限维时,
$R(igtriangleup)$在$mathcal{B}(mathcal{H})$中是强稠的.
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