2018年甘肃农业大学资源与环境学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶矩阵，a 是n 维列向量.
若秩
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A 项，若A 可逆，
则一定存在惟一解；C 项，只有
当
故线
性方程组
为
2．
若均是n 阶非零矩阵，且AB=0, 则必有
A.1 B.2 C.n-1
D. 条件不够不能确定
【答案】A
【解析】若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×5矩阵，且AB=0, 则有 （1） B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解；
⑵秩
由（1
）知对于又因
r （B
）
知有代数余子式又因
有非零解，从而秩即A 中有n-l 阶子式非零.
于是
故必有r （B ） =1.
再根据（2）知
（ ）
故
必有非零解.
只有惟一解
时
B 项；若A 不可逆，
则
不
必打无穷多解
必有唯一解
仅有零解
必有非零解
则线性方程组（ ）.
才仅有零解；D 项，
设
的解的集合中含有线性无关的解向量个数
关于r （A ）也可由下面公式确定.
因为是
3
． 设
A 为4×3矩阵
，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】
的一个解为
而
线性无关，
从而
也线性无关
，且
都为Ax=0的解
，从而原方程的通解可表示为
4．
设
A
为三阶
矩阵
，P
则
A.
为三阶可逆矩阵，且
若
是非齐次性方程组
的三个线性无关的解，
为任意实数，
的通解为（
）。
有
于是
那么再由
知
因此只能
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
则
故
5． 已知三阶矩
阵A 与
三维非
零列向
量
那么矩阵A
属于特征值
A.
B. C. D. 【答案】C 【解析】已知
线性无关，
那么必有
的特征向亦即矩阵A 属于特征值
6． 与二次型
A.
即有
所以
的特征向量.
的矩阵
A 既合同又相似的矩阵是（ ）。
因为
是矩阵A+3E属于特征值
若向量组
的特征向量是（
）。
线性无
关，
而
B.
C.
D. 【答案】B
【解析】二
次型则有
经正交变换
化为新的
二次型，由于
故
即原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 合同，又因Q 是正交矩阵，因此在正交变换下，二次型矩阵A 与B 不仅合同而且相似.
因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在