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郑州大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学试题 专业：基础教学、应用数学、计算数学与控制论与运筹 科目：数学分析 一、完成下列各题（每题 10 分，共 30 分） 1．叙述 的定义，并证明 在 x0=1 处左连续。 2．试证：当 x>0 时，sinx>x- 3.设 为可导函数，且 二、完成下列各题（每题 12 分，共 60 分） 1．叙述 Riemann 积分的定义，并求极限 2. 验证：方程 ，并求 试求极限 在（0，0）在某领域内存在连续可导的隐函数 3．设 试证： （1） （2） 4．如图所示，曲线 在（0,0）处的两个偏导数都存在，但不连续； 在（0,0）处可微。 在[0,1]上的一段与 x 轴的直线 AB 交于 C，C 点的横坐标为 。问 为何值时，阴影部分的面积 S 最小？并求出最小值。 5．设 S 为任一光滑的闭曲面，Is= 其中， 为S 的外法向的方向余弦，r= 试证： （1）当原点在 S 外部时，Is=0；(2)原点在 S 内部时，Is=4 三、下列各题任选做四个题， （每题 15 分，共计 60 分） 1．设 在 上一致连续，在 上一致连续； 换成条件 时，结论不一定成立。 内可导， ，则存在 使 上也一致连续。 （1）试证 （2）举例说明将条件 2 ．设 在 上连续，在 3．设 4． （1）设 在 在 内收敛，且每个 试证： 存在，并求其值。 发散，则 在 b 处左连续，如果 内非一致收敛。 在（0,1）上非一致收敛 （2）证明：

5 ．设 是严格增加的连续函数， 为其反函数， 。试证 6．当 p 为何值时， 有唯一的实根？

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