● 摘要
状态依赖的脉冲微分方程能够对害虫控制、药物设计和植物疾病控制中的阈值策略提供一个自然的刻画.这些模型的定性行为的研究, 特别是阶 1 周期解的存在性和稳定性的研究通常转化为对应的脉冲点序列的庞卡莱映射的不动点的存在性和稳定性的研究. 而且, 这种对应的
庞卡莱映射的类型之一就是由 LambertW 函数所确定的差分方程. 因此, 本文结合脉冲微分方程在药物动力学,植物疾病治理 和害虫综合管理等模型中的应用,将三者中脉冲点序列所对应的差分方程用 LambertW 函数描述成如下统一的形式
x(n+1)=kaLambertW[i,1/ax(n)exp(1/ax(n)+b)]+c=g(x(n)),i=0,-1,
其中 k,a,b和c是参数.
上述差分方程正平衡态的存在性, 即原模型阶1周期解的存在性由下述方程
x(*)=kaLambertW[i,1/ax(*)exp(1/ax(*)+b)]+c,i=0,-1,
正根的存在性条件以及个数确定. 因此, 研究过程中采用 LambertW 函数的定义将其转化成初等函数的形式. 然后分别根据 i=0,-1, 即 LambertW 函数的上下支的性质确定所考查的定义域, 借助连续函数的性质,例如零点定理、单调性和凹凸性, 得到了保证正根的存在性的充分条件.
通过判断迭代函数在正平衡态处的导数值与 1 的大小关系, 利用 LambertW 函数的定义及隐函数求导法则,系统分析了正平衡态存在时的局部稳定性. 进一步,根据迭代点序列到不动点之间的距离的判别以及压缩映像原理和微分中值定理,得到判断正平衡态全局稳定的充分条件.
其次,论文中将上述存在性、局部稳定性和全局稳定性的结论应用到研究药物动力学模型和
害虫综合管理模型中, 得到了保证药物动力学模型阶 1 周期解的存在与全局稳定性的结论, 以及害虫综合管理模型阶 1 周期解的存在性, 局部或全局稳定性结论.给出了这方面对阶1周期解全局稳定性证明的一个方法.
论文中发展的解析技巧和研究方法, 特别是对一类由 LambertW 函数确定的差分方程的正平衡态的存在性和稳定性进行分析,有助于此类差分方程的正平衡态和相应状态依赖脉冲微分方程的研究.