2018年湖南大学经济与贸易学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数. 2．
已知
且
.
求
又
又
知
即 3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
得
故
知
故
【答案】
由题意知
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
4． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1
）
（2
）
【答案】记所给的矩阵为A. （1）