● 摘要
在理论探索和实际工作中往往要估计一个矩阵~A 的逆的最大模~$|A^{-1}|_{infty}$ 的上界, 例如偏微分方程差分方法的稳定性和收敛性问题,迭代法的收敛性问题. 然而在实际应用中, 很多矩阵~A 具有特殊的结构, 比如~H- 矩阵 、M- 矩阵、L- 矩阵、严格对角优势矩阵、严格双对角占优矩阵、弱链对角占优矩阵等. 大量学者对这些矩阵给出了~$|A^{-1}|_{infty}$ 的上下界的估计式. 此外, 对于一些特殊的矩阵我们经常会关注其子矩阵或者与其有关的矩阵是否能保持原来矩阵的性质或结构. 特别地, 矩阵的~Schur 补和~diagonal-Schur 补在大型矩阵降阶处理中起到重要作用, 是数值代数和矩阵分析研究和探讨的重要课题之一. 近年来, 对矩阵的~Schur 补和~diagonal-Schur 补的研究吸引了很多学者的关注和研究, 并得到了一些重要结论. 例如, 正半定矩阵的~Schur 补矩阵仍为正半定矩阵, 对于~M- 矩阵、H- 矩阵、广义严格对角占优矩阵和块对角占优矩阵都能得到类似的结果. 本文主要研究了两类对角占优矩阵的数值特征, 其主要内容如下： 第~1 章, 介绍两类对角占优矩阵的数值特征的研究现状以及本文的主要研究工作. 第~2 章, 对矩阵~A 为一类严格双对角优势矩阵时,估计~$
ho(A^{-1})$ 的下界, 即当~A 为严格双对角占优矩阵且为~L 阵时, 有~$minlimits_{i
eq j}{frac{|a_{jj}|+P_{i}(A)}{|a_{ii} imes a_{jj}|-P_{i}(A) imes P_{j}(A)}}leq
ho(A^{-1})$.由于严格对角占优矩阵必为严格双对角占优矩阵, 则当矩阵~A 为严格对角占优矩阵时有同样的结果, 从而得到了当~A 为严格对角占优矩阵,并且对任意~$k,i$ 满足~$ngeq kgeq i geq 1$ 时,有~$|a_{kk}|-P_{k}(A)leq |a_{ii}|-P_{i}(A)$, 则~$minlimits_{i
eq j}{{frac{|a_{jj}|+P_{i}(A)}{|a_{ii} imes a_{jj}|-P_{i}(A) imes P_{j}(A)}}}geq minlimits_{1leq ileq n}{{frac{1}{|a_{ii}|-P_{i}(A)}}}$，且该估计要比以往的学者的估计更精确. 同时, 证明了当矩阵~A 为等对角优势矩阵~(即~$|a_{ii}|-sumlimits^{n}_{i=1,i
eq j}|a_{ij}|=delta$) 时,$
ho(A^{-1})$ 的下界就为~$frac{1}{delta}$. 第~3 章, 首先给出了正切~Schur 补的定义~(三角~Schur 补的推广), 并证明了严格对角占优矩阵的正切~Schur 补仍是严格对角占优矩阵,进一步得到了严格对角占优矩阵的正切~Schur 补的特征值得分布. 随后给出了严格双对角占优矩阵的正切~Schur 补在一定条件下仍为严格对角占优矩阵, 这是严格对角占优矩阵~Schur 补的推广.