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一、简答题

1． 多元线性回归模型中有哪些基本的假定？

【答案】多元回归模型的基本假定有： （1）自变量（3）对于自变

量

（4）误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即

2． 多元回归分析中为什么需要使用修正的判定系数（可决系数）来比较方程的拟合效果？是如何计算的？

【答案】在多元线性回归分析中，常用修正的判定系数，而不用多重判定系数来衡量估计模

型对样本观测值的拟合优度。这是由于多重判定系数

随着样本解释变量个数的增加来越高（即

的值越

是解释变量个数的增函数）。也就是说，在样本容量不变的情况，在模型中增加新

不是一个合适的指标，需加以

是非随机的、固定的，且相互之间互不相关（无多重共线性）；

的方

差

都相同，且不序列相关，

即

的所有

值

（2）误差项是一个期望值为0的随机变量，即

的解释变量不会改变总离差平方和，但可能增加回归平方和，减少残差平方和，从而可能改变模型的解释功能。因此在多元线性回归模型之间比较拟和优度时，调整。而修正判定系数归模型方面要优于多重判定系数

修正判定系数

的计算公式为

3． 在研宄方法上，参数估计与假设检验有什么相同点和不同点？

【答案】（1）参数估计和假设检验的相同点 ①是根据样本信息推断总体参数；

②都以抽样分布为理论依据，建立在概率论基础之上的推断，推断结果都有风险； ③对同一问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。

（2）参数估计和假设检验的不同点

①参数估计是以样本资料估计总体参数的可能范围，假设检验是以样本资料检验对总体参数的先验假设是否成立；

②区间估计求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验，也有单侧检验；

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其值不会随着解释变量个数k 的増加而增加，因此在用于估计多元回

③区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（可信度）成立。

4． 简述估计量的无偏性，有效性和一致性。

【答案】（1）无偏性 若估计量

的数学期望等于未知参数

即：

去估计总体参数的置信区

间；假设检验立足于小概率，

通常是给定很小的显著性水平去检验对总体参数的先验假设是否

则称为的无偏估计量。估计量的值不一定就是的真值，因为它是 一个随机变量，若

是的无偏估计量，则尽管的值随样本的不同而变化，但平均来说它会等于的真值。 （2）有效性

设

（3）—致性（相合性） 如果依概率收敛于则称

即

有

是的一致估计量。

5． 重复抽样和不重复抽样相比，抽样均值抽样分布的标准差有什么不同？

【答案】样本均值的方差与抽样方法有关。在重复抽样条件下，样本均值的方差为总体方差的

即

去修正重复抽样时样本均值

与

且至少对于某一个

都是的无偏估计量，若对于任意

上式中的不等号成立，则称

较

有效。

有

在不重复抽样条件下，

样本均值的方差则需要用修正系数的方差，即

对于无限总体进行不重复抽样时，可以按重复抽样来处理，因为其修正系数对于有限总体，

当N 很大而n 很小时，其修正系数

来计算。

6． 简述均值、众数和中位数三者之间的关系及其在实际中的应用。

【答案】（1）众数、中位数和平均数的关系

趋向于1;

也趋向于1，

这时样本均值的方差也可以按公式

从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上

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的值，而平均数 则是全部数据的算术平均。

对于具有单峰分布的大多数数据而言，众数、中位数和平均数之间具有以下关系： ①如果数据的分布是对称的，众数

中位数

和平均数

必定相等，即

②如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动平均数向极小值一方靠，而众数和中位数由于是位 置代表值，不受极值的影响，因此三者之间的关系表现为：

③如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动平均数向极大值一方靠，

则

（2）众数、中位数和平均数在实际中的应用

①众数是一组数据分布的峰值，不受极端值的影响。其缺点是具有不唯一性，一组数据可能有一个众数，也可能有两个或多个众数，也可能没有众数。众数只有在数据量较多时才有意义，当数据量较少时，不宜使用众数。 众数主要适合作为分类数据的集中趋势测度值。

②中位数是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。中位数主要适合作为顺序数据的集中趋势测度值。

③平均数是对数值型数据计算的，而且利用了全部数据信息，它是实际中应用最广泛的集中趋势测度值。当数据呈对称分布或接近对称分布时，3个代表值相等或接近相等，这时则应选择平均数作为集中趋势的代表值。 但平均数的主要缺点是易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，平均数的代表性较差。因此，当数据为偏态分布，特别是当偏斜程度较大时，可以考虑选择众数或中位数。

二、计算题

7． 某厂生产某产品1000件，其价格为

其使用寿命X （单位：天）的分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险:

厂方向保险公司交保费（1）若保费（2）试确定保费

保险公司亏本的概率？ 使保险公司亏本概率不超过

【答案】（1）设该厂出现产品寿命小于1095天的总产品件数是Y 。保险公司刚好亏本时，产品寿命小于1095天的总产品件数是y ；，则

当

时，

所以保险公司亏本的概率为：

每件产品寿命小于1095天的概率为：

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元/件，每件产品若寿命小于

1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件，试由中心极限定理计算：