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一、解答题

1．

已知

与

相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使

【答案】由

于故B 的特征值

为

从而B

可以对角化为

分别求令

所对应的特征向量，

得

有

即a=5.

由

得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

记

有

.

因此

即

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则

P 可逆

，且 2． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ）设

【答案】（Ⅰ）由

同特征值的特征向量，

故

又令即由

是

3维非零列向量，

若线性无关；

求

且

线性无关

.

非零可知，

是A 的个

令

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有线性无关；

（Ⅱ）因为,

所以

即

故

3． 已知三元二次型

其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足其中

（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值.

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【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,

即值

，

由征向量.

因为

是

的特征向量.

，由此可知是A 的特征

可知-1是A 的特征值

，不正交，将其正交化有

是1的线性无关的特

再单位化，可得

那么令

则有

（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征 值都大于0,

得

4． 求个齐次线件JTP

技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】由题意，

设所求的方程组为

由这两个方程组知，

所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

故所求的方程组可取为

解得此方程组

将

代入得，

构

二、计算题

5． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；