2018年中央财经大学统计与数学学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
3．
已知
且
.
求
又
又
知
即 4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
得
故
知
故
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】
由题意知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
专注考研专业课13
年，提供海量考研优质文档！
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5． 设
，求一个
4×2矩阵B , 使AB=0, 且R （B ）=2.
，因
R （B
）=2,
故
且
线性无关.
是方程Ax=0的解；并旦这方程的
【答案】设B
按列分块为又因
系数矩阵A
的秩R
（
A ）=2.于是可知
是它的一个基础解系
.
得
分别取，得此方程的一个基础解系为，.
于是，令就满足题目的要求.
6． 设
【答案】因
其中
故
于是
求
相关内容
相关标签