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一、证明题

1． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

收敛的方法知结论成立.

2． 设连续随机变量

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

3． 若

【答案】由

试证

：

得

所以得

即

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所以

即

由此得

即

4． 记

证明

【答案】

由

得

5． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

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【答案】因为

由马尔可夫大数定律知服从大数定律.

6． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

7 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

.

, 且X 与Y 独立,

由此得

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

8． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

二、计算题

9． 设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为0，1，2, 其概率分别为

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