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一、证明题

1． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

和

2． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

二、计算题

3． 设有三个

自旋算符

组成的系统，其哈密顿量为

试

（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；

（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为

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其中

能量与无关，可由

时，能量为

时，能量为

时，能量为

当

故系统的力学量完全集为完全确定

. .

可取值个数确定，则

完全确定时，能级简并度将仅由

可取值的个数为2, 故简并度为

2.

可取值个数为2，故简并度为

2. 可取值个数为4，故简并度为4.

4． 考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬

同本征矢

（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于

求在t ＞0后粒子的态？

为基，求自旋算符S 的矩阵表示.

中（为x 轴

态的概率是多少?

故

由于哈密顿量为（2）由定态方程

则能量本征态对应于

解得

本征态.

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而故t ＞0后粒子的态为

（3）由于

故所求概率为

5． 已知氢原子在t=0时如下处于状态：

其中，

为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t

将t=0时的波函数写成矩阵形式：

＞0时的波函数。

【答案】已知氢原子的本征值为：

利用归一化条件：

于是，归一化后的波函数为：

能量的可能取值为

相应的取值几率为：

能量平均值为：

自旋z 分量的可能取值为

相应的取值几率为：

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