● 摘要
数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为 解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组，而对这种方程组一般采用迭代法求解， 因此迭代格式的收敛性和收敛速度便成为人们关注的焦点(见[1]-[6])．迭代不收敛 的格式自然不能用，虽然收敛但收敛很慢的格式使用起来不仅使人工和机器的时间 比较浪费，而且还不一定能得出结果，因此必须寻求收敛速度比较快的格式和确定 格式中的某些参数(如SOR迭代法的松弛因子)．本文第二章针对AOR迭代法考察 了当线性方程组的系数矩阵A为(1，1)相容次序矩阵且其Jacobi特征值为纯虚数 或零时的迭代收敛范围，最优参数(即最优松弛因子和最优加速因子)及与之相应的 谱半径，并将此最优谱半径与相应的SOR的进行比较，定量的给出在不同条件下， AOR和SOR迭代法各有其优越性，从而圆满的解决了在这两种迭代法之间如何适 当的选择最佳迭代法的问题．同时，我们得到了一个比较理想的结果，即当(1，1) 相容次序矩阵A的Jacobi特征值仅有一对重数为n／2的纯虚数或均为零时(设其 模为α)在其AOR迭代法的最优参数点γb=2／（1＋√（l＋αˉ2）），ωb=1／（1＋√（l＋αˉ2）） 处有ρ(L-γb,ωb)=0，这意味着对此类方程组用最优的AOR迭代法只需迭代n次便 可求出精确解，这正是我们所渴求的最优结果．除了对迭代方法的研究和改进，对 方程组本身做某些处理，如对它进行预条件也是有效改善迭代收敛性，加快迭代收 敛速度的方法之一．在认真研究了目前已有的多种预条件方法(见[7]-[12])之后， 本文一方面在第三章中考虑将文献[24]中的预条件(I+S_α)应用于非奇异M-矩 阵类的AOR迭代法和2PPJ(预条件双参数Jacobi方法)迭代法，从而得到这两 种预条件迭代法的收敛性定理，并从理论上证明了它们较原方法提高了迭代的收敛 速度．预条件(I+S_α)一直以来都是被应用于GaUSS-Seidel方法的，而在这一章 中它首次被应用于改善AOR迭代以及2PPJ迭代的收敛性，并且取得了很好的结 果：对于H-矩阵，该预条件AOR迭代法是收敛的；对于非奇异M-矩阵，该预条 件AOR迭代不仅收敛而且其谱半径小于等于原AOR迭代法的谱半径(迭代矩阵 谱半径越小，收敛越快)；对于非奇异不可约M-矩阵，该预条件AOR迭代法则完全 提高了迭代的收敛速度．另一方面第四章在Evans等人提出的预条件AOR迭代法 [33]的基础之上给出一种新的带参数的预条件方法，并将其应用于AOR和2PPJ迭 代格式中，该方法不但提高了迭代的收敛速度，而且是文献[33]中预条件方法的进 一步推广．对于以加快迭代速度为目的的预条件方法，其预条件带有与矩阵元素相 关的参数给我们提供了一种新的思路．文中确定了参数的取值范围，在此范围内， AOR迭代以及2PPJ迭代的收敛性均得到了改善．