题目：不确定性结构的集合理论凸方法及工程应用

响应分析（包括静位移、应力和应变、特征值和动力响应等）是结构设计和校核的基础。然而，实际工程中，存在多种不确定性，涉及几何属性（如梁截面的尺寸）、材料特性（如弹性模量、剪切模量，泊松比、质量密度）、以及外部条件（如热属性和外载荷）等诸多方面，因此，不确定性分析在结构设计中至关重要。 本文对不确定性结构问题的集合理论凸方法做了进一步的创新性研究，提出和改进了若干求解理论和方法；并对集合理论凸方法在工程上的实际应用做了一些开创性的工作。主要包括以下几个方面：1）有界不确定性结构静力问题的顶点求解定理 基于区间的顶点表达法和区间运算法则，提出了有界不确定性结构静力问题的顶点求解定理。该定理可以计算区间线性方程组，得到静力位移的上下确界，并进一步获得区间应力和应变分布。顶点求解定理得出的静力响应的区间宽度比传统得KCN 方法所求得的宽度小。 通过对大型通用有限元软件Nastran 的二次开发，并引入并行算法，对顶点求解定理在工程上的应用流程进行了初步探讨。在顶点法的求解过程中引入并行算法，可有效的降低运算时间。在实际工程中，可以采用并行算法来解决顶点求解定理计算过大、运行时间长的问题。 对于实际工程中的大型复杂结构，利用结构构造和几何特性将整体结构划分为若干子结构，并利用刚度矩阵的对称性，可有效降低求解区间方程的运算量。2）有界不确定性结构静力问题的优化算法 推导出一种有界不确定性结构的静力响应区间的优化算法；本方法可给出与Deif方法相一致的精确上下确界，而计算量较之Deif 方法有大幅降低；编写了与大型有限元软件ANSYS 的接口程序和区间运算程序，将该方法推广到了实际工程领域。3）结构特征值的区间分析方法及其在模糊振动中的应用 提出了广义有界参数结构特征值上下界定理，并给出了数学证明；讨论了该方法所得结果为精确上下界的条件，并针对不满足该条件的情况，给出了一种有效的近似算法。该算法计算量大大小于区间结构特征值的顶点求解定理。 改正了区间参数摄动法证明中的一些错误，并推导出了更易于使用的格式，提出了用以求解有界不确定性结构特征值的“修正区间参数摄动法”；理论和数值算例的结果均表明，该方法是求解区间特征值问题的一种有效近似算法。 提出了求解模糊特征值问题的一般方法，即基于a 截集定理，在不同水平阀值下，将模糊有限元特征值方程转化为区间特征值方程，分别求解后，再由分解定理将区间解转化为原模糊特征值方程的解。4）含有界不确定参数和区间初始条件的时域响应分析 针对含有界不确定参数和初始条件的结构动力响应问题，提出了一种计算时域响应上下确界的新方法。该方法可给出动力响应一阶摄动精确上下界，避免由中间计算引起的区间扩张。在该方法中，唯一的近似之处在于摄动方程建立过程中，二阶小量被忽略。该方法比传统摄动方法更为精确，且提供比传统摄动方法更窄的响应范围。该方法的另一个优势是可以求解初始条件不确定的问题。5）爆炸载荷下层合板有界不确定性动力响应分析 针对含有界不确定参数爆炸载荷下复合材料层合板的振动响应问题，分别基于积分变换技术（ITT）和有限元法（FEA），推导了两种凸模型求解格式。这两种凸模型格式所得的结果非常吻合，均适用于受有界不确定载荷和结构参数的板的动力响应分析。积分变化法给出解析解，具有精度高的特点；而有限元法通用性更强，适合在实际工程中推广使用。